beppo physical features

Answer 1

Soit Ω un ouvert quelconque connexe de Rn. Soit E un espace vectoriel de distributions sur Ω, séparé et complet. On désigne par BLm(E) l’espace des distributions sur Ω dont toutes les dérivées d’ordre m sont dans E. Ces espaces sont les espaces du type de Beppo Levi. Si E=L2(Ω), on écrit BL=BL(Ω) au lieu de BL1(L2(Ω)). La première partie est consacrée aux propriétés générales des espaces BL1(E) ; la seconde associe à toute fonction F∈BL(Ω) une fonction “précisée”, définie partout sauf sur un ensemble de capacité extérieure nulle ; la troisième aborde l’étude des BLm(E). Parmi les résultats principaux, signalons : 1) l’espace séparé associé à BLm(E) est complet ; 2) si n>2, l’espace Dˆ1(Ω), complété de D(Ω) pour la norme ∥∥∥ϕ∥1=(∫Ω∣∣∣grad−→−ϕ∣∣∣2dx)1/2 est un espace de distributions. Si n=2, il en est encore ainsi, si et seulement si, Ω est de complémentaire non polaire ; 3) pour que le problème de Neumann relatif à un ouvert connexe borné Ω et à l’équation Δu=0 soit possible (en un certain sens) il faut et il suffit que Ω soit un ouvert de Nikodym (i.e. toute F∈BL(Ω) est dans L2(Ω)) ; 4) pour qu’une F∈BL(Ω) soit dans Dˆ1(Ω), il faut et il suffit qu’une fonction “précisée” F∗, associée à F, admette la pseudo-limite 0 quasi partout à la frontière, et à l’infini si n>2 et Ω non borné, etc.